Il paradosso del compleanno è un fenomeno sorprendente legato alle probabilità che si verifica quando si considera un gruppo di persone e si cerca di calcolare la probabilità che almeno due di loro abbiano la stessa data di compleanno. Contrariamente a quanto potrebbe sembrare intuitivo, la probabilità che almeno due persone abbiano la stessa data di compleanno in un gruppo relativamente piccolo è sorprendentemente alta.
Il paradosso prende il nome dalla situazione in cui le persone nel gruppo sono numerate casualmente e si cerca di calcolare la probabilità di una coincidenza, proprio come nel caso di un compleanno condiviso. Le conclusioni principali del paradosso del compleanno sono:
- In un gruppo di appena 23 persone, c’è una probabilità di circa il 50% che almeno due di loro abbiano la stessa data di compleanno. Questo è molto più alto di quanto molte persone immaginino.
- Con 30 persone, la probabilità supera il 70%, e con 60 persone, la probabilità supera il 99%. Aumentando il numero di persone nel gruppo di poco, la probabilità di una coincidenza aumenta molto velocemente.
Questo paradosso è un esempio di come la probabilità possa sfidare l’intuizione, ed è fondamentale conoscerlo anche per provare a spiegare eventi che possono sembrare rari o quasi impossibili.
Il paradosso del compleanno può essere applicato a eventi diversi dal compleanno per calcolare la probabilità che in un gruppo di elementi si verifichi una coincidenza o un evento raro. Ad esempio, possiamo usarlo per calcolare la probabilità di due persone che condividono la stessa data di nascita o per calcolare la probabilità che due persone abbiano lo stesso colore preferito. Ecco come puoi applicare il paradosso del compleanno a un evento raro:
- Definire l’evento raro: Ad esempio, supponiamo che tu voglia calcolare la probabilità che in un gruppo di 30 persone almeno due di loro abbiano lo stesso colore preferito, scegliendo tra un insieme di 10 colori diversi.
- Calcola la probabilità dell’opposto: Il paradosso del compleanno parte dalla considerazione dell’opposto o del complementare dell’evento che vuoi calcolare. In questo caso, calcola la probabilità che nessuna delle 30 persone abbia lo stesso colore preferito. Supponiamo che ci siano 10 colori tra cui le persone possono scegliere e che ciascun individuo abbia una probabilità 9/10 di non scegliere lo stesso colore preferito di un altro. Quindi, la probabilità che nessuno scelga lo stesso colore preferito è:Probabilità di nessuna coincidenza = (9/10) * (9/10) * … * (9/10) (per 30 volte)
- Calcola la probabilità dell’evento desiderato: Ora puoi calcolare la probabilità dell’evento che desideri, ovvero che almeno due persone abbiano lo stesso colore preferito. Utilizza il principio complementare e sottrai la probabilità calcolata al passo 2 da 1:Probabilità di almeno una coincidenza = 1 – (Probabilità di nessuna coincidenza)
Questo ti fornità la probabilità di avere almeno una coincidenza tra le preferenze di colore delle persone nel gruppo di 30.
Il paradosso del compleanno mostra che, anche se potrebbe sembrare improbabile che due persone abbiano lo stesso colore preferito, quando il numero di persone nel gruppo aumenta, la probabilità di una coincidenza diventa sorprendentemente alta. Questo concetto può essere applicato a molti altri eventi rari in cui è importante calcolare la probabilità di una coincidenza o di un evento specifico.
Come spiegare eventi rari con la teoria della probabilità
Il paradosso del compleanno è un principio che può essere utilizzato per spiegare la probabilità di eventi rari, come l’uscita degli stessi numeri alla lotteria per due volte di fila. Immaginate quanto potrebbe sembrare assurdo (in Ungheria è capitato davvero, anni fa):
- un giorno escono i numeri 17, 18, 26, 37, 46, 49
- durante l’estrazione successiva escono di nuovo 17, 18, 26, 37, 46 e 49
Per comprendere questo concetto, dobbiamo considerare il principio di base del paradosso del compleanno, che abbiamo appena visto, e collocare le estrazioni della lotteria in un contesto più ampio, cioè partire dalla prima estrazione in assoluto e non fare l’errore di isolare l’evento e considerarlo come poco frequente. La chiave sta proprio nella legge dei grandi numeri, che assume proprio il fatto che le probabilità convergano verso la media al crescere del numero di campioni considerati. In altri termini, più opportunità ci diamo, più sarà facile che succedano cose che sembrano “impossibili”!
SOra, per applicare il concetto all’uscita degli stessi numeri alla lotteria per due volte di fila, consideriamo che ci sono molte combinazioni possibili di numeri vincenti, ma solo una combinazione è quella corretta. La probabilità di indovinare la combinazione corretta in un solo tentativo è molto bassa. Supponiamo che la probabilità di indovinare la combinazione corretta in un singolo tentativo sia indicata da P.
Ora, se vogliamo calcolare la probabilità che la stessa combinazione vincente esca due volte di fila, possiamo applicare il principio del paradosso del compleanno. Procediamo per gradi, in sostanza, e calcoliamo la probabilità di vincere e di azzeccare una combinazione senza ripetizione di 6 numeri da 1 a 49: avremo che i casi totali sono 13983816, che è pari al numero di combinazioni con ripetizione di n elementi a gruppi di k (usa questo calcolatore online), ovvero:
(n + k – 1)! / ((k!(n-1)!) con n=49 e k=6
che è pari a (49+6-1)! / ((6!(49-1)!) = 13983816
P(vincita) sarà pertanto pari a 1 su 13983816 = 1/13983816= 0.0000000715112, per cui la probabilità complementare di perdere sarà P(perdere) = 1 – P (vincita) = 0.99999992848. Ragioniamo ora come se parlassimo di specifiche coppie che coincidono nella proprietà di fare il compleanno lo stesso giorno, sostituendo il concetto di compleanno con quello di coincidenza tra due estrazioni consecutive. È evidente che in due estrazioni avremo:
P(2) = 1 – (13983815/13983816*13983814/13983816) = 1- 0.99999978546
P(3) = 1 – (13983815/13983816*13983814/13983816*13983813/13983816) = 1- 0.99999957093
che converge, al crescere di n=2, 3, 4, … rapidamente al 50% e sempre più verso il 100% da n=23 in poi, come abbiamo visto. Motivo per cui l’altamente improbabile non sembra più tale, soprattutto se ci poniamo nell’ottica di un grande numero di estrazioni che avvengono periodicamente, e senza cadere nella fallacia del giocatore, cioè nel considerare che i casi sfavorevoli tendano a bilanciarsi con quelli favorevoli (cosa falsa),
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